미분의 응용

이번 글에서는 미분의 응용에 대해 알아봅니다.

목차

1. 그래프의 개형
- 접선
- 평균값정리
- 함수의 증감과 도함수
- 극대 극소와 미분계수
- 함수의 볼록과 이계도함수
2. 미분의 응용
- 최대값과 최소값
- 속도와 가속도

작성하면서 참고한 자료

교양을 위한 대학 수학 1, 김성기 외
http://www.yes24.com/Product/Goods/92428551

교양을 위한 대학수학 1 - YES24

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그래프의 개형

함수의 그래프를 그리는 것은 미분이 직접적으로 이용되는 문제 중의 하나입니다.

접선

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서 접선의 기울기는 $f^{\prime }(a)$입니다. 따라서 이 점에서 접선의 방정식은 $$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$입니다.

접선의 방정식
함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서 접선의 방정식은 $$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$이다.

곡선의 방정식이 만약 음함수로 주어졌다면, 음함수 미분법을 사용해 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.

평균값정리

닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$는 이 구간에서 최대값과 최소값을 가집니다. (최대최소정리) 이를 이용하면, 다음의 정리가 성립함을 알 수 있습니다.

롤의 정리
닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 주어져 있다. 만일 $f(a)=f(b)$이면 $$f^{\prime }(c)=0$$을 만족하는 $c$가 구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

증명
함수 $f(x)$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 최대값 $M$과 최소값 $m$을 가진다. 먼저 $M=m$인 경우, $f(x)$는 구간 $[a,b]$에서 상수함수이다. 따라서 모든 $c$에 대하여 $$f^{\prime }(c)=0(a<c<b)$$이므로 더 이상 증명할 것이 없다.
이제 $M>m$이라고 하자. 이 경우 $f(a)=f(b)$이므로 열린구간 $(a,b)$ 안의 한 점 $c$에 대하여 $$f(c)=M\text{ or }f(c)=m$$이 성립해야 한다.
만약 $f(c)=M$이면 $c+h\in [a,b]$인 모든 $h$에 대하여 $$f(c+h)\le f(c)$$이다. 따라서 $h>0$이면 $$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$$이고, $h<0$이면 $$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$$이다. 그런데, 가정에서 $f^{\prime }(c)$가 존재하므로 $$0\le \underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=f^{\prime }(c)=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$$이고, 따라서 $f^{\prime }(c)=0$이다.
$f(c)=m$일 때도 같은 방법으로 보일 수 있다.

롤의 정리를 이용하면 다음의 정리를 보일 수 있습니다.

평균값정리
닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$를 만족하는 $c$가 구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

증명
롤의 정리를 이용해 증명하기 위해, 함수 $g(x)$를 $$g(x)=f(x)-f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$$와 같이 정의하자. 그러면 $g(x)$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하고, $g(a)=g(b)=0$을 만족시킨다. 그러므로 롤의 정리를 적용할 수 있고, $$g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$을 만족하는 $c$가 열린구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다. 따라서 그 $c$에 대해 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$가 성립함을 알 수 있다.

$f^{\prime }(c)$는 점 $(c,f(c))$에서 접선의 기울기입니다. 따라서 평균값정리는 함수 $y=f(x)$의 그래프에서 두 점 $(a,f(a)),(b,f(b))$를 잇는 직선에 평행한 접선을 갖는 $c$가 열린구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.

함수의 증감과 도함수

만약 어떤 구간에서 항상 $f^{\prime }(x)>0$이면, 평균값정리에 따라 그 구간의 임의의 점 $a,b(a<b)$에 대해 $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)(a<c<b)$$인 $c$가 존재합니다. 그런데 $f^{\prime }(c)>0$이므로 $f(b)>f(a)$이고, $f(x)$는 그 구간에서 증가함을 알 수 있습니다.

도함수의 부호와 함수의 증감
함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서 항상
(가) $f^{\prime }(x)>0$이면, $f(x)$는 증가함수이다.
(나) $f^{\prime }(x)<0$이면, $f(x)$는 감소함수이다.
(다) $f^{\prime }(x)=0$이면, $f(x)$는 상수함수이다.

함수 $y=f(x)$의 그래프를 그릴 때, 도함수를 구하여 $f^{\prime }(x)=0$이 되는 점들을 찾은 후 이를 기준으로 도함수의 부호를 조사합니다. 이러한 사항을 표로 나타낸 증감표를 그리면 조금 더 쉽습니다.

예제: 함수 $f(x)=x^4+4x^3$의 증감표
도함수를 구하면 $f^{\prime }(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3)$이므로 $f(x)$의 증감표는 다음과 같다.

$x$	…	-3	…	0	…
$f^{\prime }(x)$	-	0	+	0	+
$f(x)$	↘︎	-27	↗︎	0	↗︎

이 증감표를 이용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

극대 극소와 미분계수

함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간 안의 모든 $x$에 대하여 $f(x)$는 $x=a$에서 극대가 된다고 하고, 이 때 $f(a)$를 극대값이라 합니다. 즉 정의역을 좁히면 그 구간 내에서 (국소적으로) $f(a)$가 최대값이 된다는 의미입니다.

같은 방식으로 극소도 정의할 수 있습니다. 극대값과 극소값을 통틀어 극값이라 합니다.

미분가능한 함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 극대값을 가진다고 합시다. 그러면 $a$를 포함하는 적절한 구간 $(b,c)$ 위에서 다음 $$b<x<c\Rightarrow f(a)\ge f(x)$$이 성립합니다. 따라서 $0<h<c-a$이면 $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le 0$$이고, $b-a<h<0$이면 $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge 0$$입니다. 결국 다음 부등식 $$\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\le 0\le \underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$을 얻는데, $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하므로 $$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0$$이어야 합니다. $x=a$에서 극소값을 갖는 경우에도 마찬가지이므로, 다음 결론을 얻습니다.

미분가능한 함수의 극값
미분가능한 함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(a)=0$이다.

앞서 알아본 '도함수와 함수의 증감의 관계'와 종합하면, $f(x)$가 $x=a$의 왼쪽 구간에서 증가함수이고 $x=a$의 오른쪽 구간에서 감소함수일 때 $f(a)$는 극대값입니다. 반대의 경우는 극소값입니다.

미분가능하지 않은 함수의 경우 위 정리와 관계없이 극값을 가질 수 있습니다. 또, $f^{\prime }(a)=0$이더라도 $x=a$에서 극값을 가지지 않을 수도 있습니다.

함수의 볼록과 이계도함수

이계도함수의 부호 또한 함수의 그래프와 관련이 있습니다.

함수 $y=f(x)$가 어떤 구간 위에서 이계도함수를 가지고 이 구간 위에서 $f^{″}(x)>0$이라 합시다. 주어진 구간에서 임의의 두 수 $a,b(a<b)$와 $a<t<b$인 임의의 수 $t$를 잡습니다. 그러면 $f(x)$는 닫힌구간 $[a,t]$에서 연속이고, 열린구간 $(a,t)$에서 미분가능합니다. 따라서 평균값정리를 적용하면 $$\frac{f(t)-f(a)}{t-a}=f^{\prime }(c)(a<c<t)$$인 $c$가 존재합니다. 마찬가지 방법으로 하면 $$\frac{f(b)-f(t)}{b-t}=f^{\prime }(d)(t<d<b)$$인 $d$가 존재합니다. 그런데 $f^{″}(x)>0$이라 가정했으므로 주어진 구간에서 $f^{\prime }(x)$는 증가합니다. 이제 $c<t<d$이므로 $f^{\prime }(c)<f^{\prime }(d)$입니다. 따라서 $$\frac{f(t)-f(a)}{t-a}<\frac{f(b)-f(t)}{b-t}$$입니다.

이것의 의미는 $a,t,b$에 대응하는 곡선 위의 점들을 각각 $A,T,B$라고 하면, 선분 $AT$의 기울기가 선분 $BT$의 기울기보다 작다는 뜻입니다. 즉 임의의 점 $T$는 선분 $AB$의 아래쪽에 있고, 곡선의 호 $AB$ 전체가 두 끝점을 제외하고 선분 $AB$의 아래쪽에 있음을 알 수 있습니다. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 이런 성질을 가질 때 이 함수는 아래로 볼록하다고 합니다.

반대의 경우, 주어진 구간에서 $f^{″}(x)<0$가 성립한다면 마찬가지 방법으로 곡선의 호 $AB$가 두 끝점을 제외하고 선분 $AB$의 위쪽에 있습니다. 이때 이 함수는 위로 볼록하다고 합니다.

이계도함수와 함수의 볼록
함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 $f^{″}(x)$를 가지며
(가) 이 구간에서 $f^{″}(x)>0$이면, 곡선 $y=f(x)$는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
(나) 이 구간에서 $f^{″}(x)<0$이면, 곡선 $y=f(x)$는 이 구간에서 위로 볼록하다.

어느 한 점 $x=a$에서 $f^{\prime }(a)=0$이고 $f^{″}(a)>0$이면 $x=a$ 근처에서 함수가 아래로 볼록할 것이므로 함수 $y=f(x)$는 $x=a$에서 극소값을 가지게 됩니다. 따라서 다음을 얻습니다.

이계미분계수와 극값의 판정
두번 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f^{\prime }(a)=0$일 때
(가) $f^{″}(a)>0$이면 $f(a)$는 극소값이다.
(나) $f^{″}(a)<0$이면 $f(a)$는 극대값이다.

$f^{″}(a)=0$이고, 점 $(a,f(a))$의 앞뒤에서 $f^{″}(a)$의 부호가 변화할 때, 점 $(a,f(a))$를 $y=f(x)$의 변곡점이라고 합니다. 그래프의 모양은 변곡점을 중심으로 한 쪽에서 위로 볼록하면 다른 쪽에서는 아래로 볼록합니다.

예제: 함수 $f(x)=x^4-2x^3+x^2$의 증감표
도함수와 이계도함수를 구하면 $$f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x-1)(x-1)$$$$f^{″}(x)=12x^2-12x+2$$이므로 극값과 변곡점을 구할 수 있다. 또 증감표는 아래와 같이 그릴 수 있다.

$x$	…	0	…	$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$	…	$\frac{1}{2}$	…	$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$	…	1	…
$f^{\prime }(x)$	-	0	+	+	+	0	-	-	-	0	+
$f^{″}(x)$	+	+	+	0	-	-	-	0	+	+	+
f(x)	↘︎	극소	↗︎	변곡점	↗︎	극대	↘︎	변곡점	↘︎	극소	↗︎

지금까지 함수 $y=f(x)$의 그래프를 그릴 때 주목해야 할 사항들에 대해 알아보았습니다. 요약하면 다음과 같습니다.
(가) 곡선이 존재하는 범위
(나) 대칭성 ($x$축, $y$축, 원점 등에 대한)
(다) 좌표축과의 교점
(라) 함수의 증감과 극대 극소
(마) 곡선의 볼록과 변곡점
(바) 점근선

미분의 응용

최대값과 최소값

연속함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 정의되어 있을 때, 최대값과 최소값을 구하기 위해서는 그 구간 안의 극대값과 극소값, 그리고 $f(a),f(b)$의 값을 비교합니다. 그 중 가장 큰 것이 최대값, 가장 작은 것이 최소값이 되겠죠.

속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 $t$초 후 위치는 $t$에 관한 함수이므로 $x=f(t)$라 둘 수 있습니다. 시각이 $t$에서 $t+\mathrm{\Delta }t$까지 변할 때 점 $P$의 위치 변화를 $\mathrm{\Delta }x$라고 하면 $$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)}{\mathrm{\Delta }t}=f^{\prime }(t)$$를 시각 $t$에서의 속도라고 하고, 이를 $v(t)$로 나타냅니다. 또 속도의 변화율을 가속도라 합니다. 가속도를 $a$라 하면 $$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f^{″}(t)$$입니다.

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미분의 응용 파트 역시 고등수학과 100% 겹치기 때문에 연습문제는 생략합니다.